有限数学示例

$x^{6} + 72 x^{3} + 512$

解题步骤 1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

${(x^{3})}^{2} + 72 x^{3} + 512$

解题步骤 2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$u^{2} + 72 u + 512$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 72 u + 512$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $512$ ，和为 $72$ 。

$8, 64$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 8) (u + 64)$

解题步骤 4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{3} + 8) (x^{3} + 64)$

解题步骤 5

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$(x^{3} + 2^{3}) (x^{3} + 64)$

解题步骤 6

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) (x^{3} + 64)$

解题步骤 7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 64)$

解题步骤 8

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 4^{3})$

解题步骤 9

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}))$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}))$

解题步骤 10.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$

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